巨乳 av 困扰数学家近60年的搬沙发难题疑似被处分！119页论文阐发最优解

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发布日期：2024-12-18 06:09 点击次数：191

巨乳 av 困扰数学家近60年的搬沙发难题疑似被处分！119页论文阐发最优解

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《相知记》中的罗斯终于能把沙发搬进屋了。

糊口中处处充满数学，比如在经典好意思剧《相知记》中，罗斯要搬家，却在和瑞秋抬沙发上楼梯扶手时翻了车。这波及了数学鸿沟一个闻名的未处分难题 —— 转移沙提问题（the moving sofa problem）。

开始：《相知记 S05E16》

该问题是由加拿大数学家 Leo Moser 于 1966 年细腻提倡：在宽度为 1 的 L 形平面走廊中，大概通过一个直角转弯的「沙发」的最大面积是些许？

1968 年，数学家 John Michael Hammersley 提倡了一种通俗的解法。他将沙发瞎想成近似于一个电话听筒的体式，由两个四分之一圆和一个中间的矩形块组成，中间的矩形块中挖去了一个半圆形，从而得出的沙发最大面积为 2.2074。

但缺憾的是，这并不是最优解。

1992 年，好意思国数学家 Gerver 在 Hammersley 沙发的基础上进行了改良，算出的最大沙发面积为 2.2195，天然比 Hammersley 沙发面积略大一些，但在循序上却贤人得多。

Gerver 沙发由 18 条不同的弧线段组成，其中包括圆弧、圆的渐开线以及圆的渐开线的渐开线等多种弧线。每条弧线段王人由一个单独的判辨抒发式姿色，这使得 Gerver 沙发在数学上终点复杂。

Gerver 推测他的处分决策是最优的，但他无法阐发他的沙发是唯独一个（何况是最大面积的）自大这个强条款的沙发。

2024 年 12 月 2 日，韩国粹者 Jineon Baek 发表了一篇新论文，宣称阐发了 Gerver 照实是正确的 —— 他的沙发是最优的。这项筹议在支吾媒体（如 x）上的热度终点高，引起了好多东谈主的温雅。

图源：x@Scientific_Bird

图源：x@morallawwithin

不外，Jineon Baek 的阐发论文足足有 119 页，题目为《Optimality of Gerver’s Sofa》。关连群众考据阐发的正确性还需要一些时刻。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

这谈困扰东谈主类 58 年的数学难题终于有了谜底，不少网友也发表了我方的见识。

「我以致不是数学家，自从 20 年前传说这个问题后，我就一直在念念考它。每次我需要把东西通过门时，我王人会预料这个问题。」

「我没预料这个体式会是最优的，这 18 个部分看起来不够优雅。」

阐发经过简述

论文共分 8 章，目次如下：

摘录唯有一句话，「通过阐发具有 18 个弧线段的 Gerver 沙发真实达到了最大面积 2.2195，进而处分了转移沙提问题」。

下图为 Gerver 的沙发 G。刻度暗示组成 G 范围的 18 条判辨弧线和线段的端点，包含 G 的相沿走廊 L_t 在右侧以灰色暗示。

在阐发 Gerver 的沙发 G 达到最大面积的经过中，作家除了在科学诡计器上进行数值诡计以外，莫得使用任何的诡计机扶直。下图 1.3 为从走廊（顶部）和沙发（底部）视角来看转移沙发的转移。

底下为作家要阐发的定理 1.1.1。

这个问题之是以很难，是因为莫得一个通用的公式不错诡计整个可能的转移沙发面积。因此，为了处分这个问题，作家阐发了最大面积的转移沙发 S_max 的一个属性，被称为可注入性条款（injectivity condition）。

对于每个自大条款的转移沙发 S，作家将界说一个更大的体式 R，它近似于 Gerver 沙发的体式（下图 1.2）。那么 R 的面积 Q (S) 便是 S 面积的上限，如若是 Gerver 沙发 G，则 Q (S) 与 S 的精准面积相匹配。S 的可注入性条款确保区域 R 的范围酿成 Jordan 弧线，从而大概使用格林定理诡计 Q (S)。

然后，转移沙发 S 面积的上界 Q (S) 相对于 S 的最大值如下所示：作家使用 Brunn-Minkowski 表面将 Q 暗示为凸体元组 (K，B，D) 空间 L 上的二次函数（上图 1.2），并使用 Mamikon 定理成就 Q 在 L 上的全局凹性（下图 1.13）。

作家使用加州大学戴维斯分校数学系西宾 Dan Romik [Rom18] 对于 Gerver 沙发 G 的局部最优方程，来阐发 S = G 局部最大化 Q (S)。由于 Q 是凹的，因此 G 也全局最大化 Q。何况，由于上界 Q 与 G 处的面积相匹配，因此沙发 G 也全局最大化了面积，从而阐发定理 1.1.1。

具体来讲，定理 1.1.1 的完好阐发分为以下三个主要神情：

神情 1 ：为止最大面积转移沙发 S_max 的可能体式；神情 2 ：成就 S_max 的可注入性条款；神情 3 ：构建自大可注入性条款的转移沙发 S 面积的上界 Q (S)，并最大化对于 S 的 Q (S)。

作家提供了神情 1、2、3 的更细分心态。

其中神情 1-(a) 将 S_max 的可能体式消弱为单调沙发（monotone sofa），即由相沿走廊内角雕琢出的凹痕的凸体（下图 1.4）。

神情 1-(b) 再行阐发了 Gerver 的一个宽绰局部最优条款，即 S_max 的边长应该互相均衡（定理 1.3.1）。

由于 Gerver 的原始阐发存在逻辑过错，莫得处分转移沙发的连通性问题，因此作家引入了新的目标并再行进行了阐发。神情 1-(c) 使用前边的神情和基本几何来标明 S_max 在转移经过中旋转了整整一个直角。

神情 2 阐发了 S_max 上的可注入性条款，这是之后成就上限 Q 的关节。它标明 L 内角 (0，0) 的轨迹在转移沙发的视角（参考系）中不会酿成自环（下图 1.9）。

为了阐发 S_max 的这一条款，作家在 S_max 上成就了一个新的微分不等式（等式 (1.9)。该不等式受到了 Romik 的一个 ODE 的启发，该 ODE 均衡了 Gerver 沙发的微分边（等式 (1.8)）。

神情 3-(a) 将整个转移沙发的空间 S 延伸为具有单射条款的凸体元组 (K，B，D) 的集合 L，使得每个 S 逐个映射到 (K，B，D) ∈ L（但不一定到 L）。该凸体姿色了包围 S 的区域 R 的不同部分（上图 1.2）。

神情 3-(b) 界说了延伸域 L 上的上界 Q。作家投降 R 的范围，并使用格林定理和 Brunn-Minkowski 表面中对于 K、B 和 D 的二次面积抒发式来暗示其面积 Q。同期使用单射条款和 Jordan 弧线定理严格阐发 Q (K，B，D) 是 S 面积的上界。

神情 3-(c) 使用 Mamikon 定理细则 Q 在 L 上的凹度（上图 1.13）。神情 3-(d) 诡计由 Gerver 沙发 G 产生的凸体 (K，B，D) ∈ L 处 Q 的标的导数。Romik [Rom18] 在 G 上的局部最优 ODE 用于标明标的导数遥远为非碰巧。这意味着 G 是 Q 在 L 中的局部最优值。Q 在 L 上的凹度意味着 G 亦然 Q 在 L 中的全局最优值。由于 G 处 Q 的值与面积匹配，沙发 G 也全局最大化了面积，最终完成定理 1.1.1 的阐发。

更具体的阐发细节请参考原论文。

作家先容

这篇论文的作家 Jineon Baek，本科毕业于韩国浦项科技大学，博士时刻就读于好意思国密歇根大学安娜堡分校。现为韩国首尔延世大学的博士后筹议员，导师是 Joonkyung Lee。